1264 字
6 分钟
关于格林函数的一些笔记
2026-10-07
数学物理方法
数学物理方法
/
Notes

引言#

格林函数是一种用于解决常微分方程以及偏微分方程的数学方法，其核心思想在于找到整一个系统对于点源的响应函数，也就是格林函数，然后就可以使用空间尺度、时间尺度的积分得到最终的场分布。

考虑点源的强度为ϕ(r)\phi(\mathbf{r})，格林函数为G(r,r′,t)G(\mathbf{r},\mathbf{r}^\prime,t)，得到的解为：

u(r)=∫ϕ(r′)G(r,r′,t)d3r3u(\mathbf{r}) = \int \phi(\mathbf{r}^\prime)G(\mathbf{r},\mathbf{r}^\prime,t)\mathrm{d}^3\mathbf{r}^3

物理解释：格林函数代表单位强度的 r′\mathbf{r}^\prime 处的点源对 r\mathbf{r} 位置施加的影响，最终计算时，格林函数乘上点源强度就得到了真实的影响，然后对全空间点源进行积分得到空间的场分布。

柏松方程#

柏松方程是一种在电磁学问题中频繁出现的偏微分方程，通常我们会使用分离变量法进行求解，利用或者制造理想的边界条件，最终得到通解，然后代入初始条件得到最终解。

其数学形式为：

∇2u=−ρε0\nabla ^2 u = -\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}

当无穷远处不存在电荷的时候，得到通解为：

u(r)=∫ρ(r′)14πε0∣r−r′∣d3r′u(\mathbf{r}) = \int \rho (\mathbf{r}^\prime) \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}^3 \mathbf{r}^\prime

其中我们可以发现这里就已经出现了格林函数的思想，点源强度为电荷密度ρ(r)\rho(\mathbf{r})，格林函数为

G(r,r′,t)=14πε0∣r−r′∣G(\mathbf{r},\mathbf{r}^\prime,t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}|\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}

接下来将会使用数学语言展示如何求解得到格林函数：

首先列出格林函数满足的微分方程和边界条件；

∇2G(r,0,t)=−δ(r)ε0\nabla ^2 G(\mathbf{r},0,t) = -\frac{\delta(\mathbf{r})}{\varepsilon_{0}}

然后进行傅立叶变换 G(r,0,t)→g(ω,t),δ(r)→1G(\mathbf{r},0,t) \to g(\mathbf{\omega} ,t), \delta(\mathbf{r}) \to 1，得到：

ω2g(ω,t)=1ε0\omega ^{2} g(\mathbf{\omega } ,t) = \frac{1}{\varepsilon_{0}}

然后进行傅里叶逆变换：

G(r,0,t)=1(2π)3∫g(ω,t)eiω⋅rd3ω=1(2π)3ε0∫1ω2eiω⋅rd3ωG(\mathbf{r},0,t) = \frac{1}{(2\pi)^{3}}\int g(\omega ,t)e^{i\omega \cdot \mathbf{r}}\mathrm{d}^{3}\omega = \frac{1}{(2\pi)^{3}\varepsilon_{0}}\int \frac{1}{\omega^{2}}e^{i\omega \cdot \mathbf{r}}\mathrm{d}^{3}\omega

引入球坐标来表示角速度，取球坐标的 zz 方向为 rr 方向，进行代换积分得到：

G(r,0,t)=1(2π)3ε0∫eiωrcos⁡θsin⁡θdθdωdϕ=14π2ε0∫0+∞1iω∣r∣(eiωr−e−iωr)dω=14π2ε0∫2ω∣r∣sin⁡ωr dω=14πε0∣r∣(∫0+∞sin⁡(ωx)ωdω=π2)\begin{align} G(\mathbf{r},0,t) &= \frac{1}{(2\pi)^{3}\varepsilon_{0}}\int e^{i\omega r\cos \theta}\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\omega \mathrm{d}\phi \\ \\ &= \frac{1}{4\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{i\omega |r|}(e^{i\omega r}-e^{-i\omega r})\mathrm{d}\omega\\ \\ &=\frac{1}{4\pi^{2}{\varepsilon}_{0}}\int \frac{2}{\omega|r|}\sin \omega r \,\mathrm{d}\omega \\ \\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}|r|} \quad\left( \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\omega x)}{\omega}\mathrm{d}\omega = \frac{\pi}{2}\right) \end{align}

最终得到格林函数表达式：

G(r,0,t)=14πε0∣r∣G(\mathbf{r},0,t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}|r|}

代入到之前写下的通解就可以有：

u(r)=∫ρ(r′)G(r,r′,t)d3r′=∫ρ(r′)14πε0∣r−r′∣d3r′u(\mathbf{r}) = \int \rho(\mathbf{r}^{\prime})G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime},t)\mathrm{d^{3}\mathbf{r}^{\prime}}=\int \rho (\mathbf{r}^\prime) \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}^3 \mathbf{r}^\prime

我们通过一个真实的解题过程可以发现使用格林函数解决微分方程问题的流程：

  • 观察微分方程，确定是否可以使用格林函数进行求解
  • 根据微分方程确定格林函数满足的微分方程，并且根据边界条件确定格林函数的边界条件
  • 使用傅里叶变换等手段进行求解（傅里叶变换可以处理dirac函数）得到格林函数
  • 代入通解

格林定理和格林恒等式#

在求解拉普拉斯方程和泊松方程时，可以使用格林公式，本节将会介绍格林定理和格林恒等式，后续将会利用这些工具推导出通解。

格林定理#

格林定理：

∫C(Pdx+Qdy)=∬D(∂Q∂x−∂P∂y) dxdy\int_{C}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{dy}) = \iint_{D}\left( \frac{ \partial Q }{ \partial x } - \frac{ \partial P }{ \partial y }\right) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

散度定理#

矢量分析中常见的散度定理，也称高斯定理：

∭Ω∇⋅AdV=∮ΩA⋅n^dS\iiint_{\Omega} \nabla \cdot A \mathrm{d}V = \oint_{\Omega}A \cdot \hat{n}\mathrm{d}S

格林恒等式#

利用散度定理可以推导出两个常见的恒等式：

格林第一恒等式

∭Ω(u∇2v)dV=∮Γu∂v∂ndS−∭Ω(∇u⋅∇v)dV\iiint_{\Omega}(u\nabla ^{2}v)\mathrm{d}V = \oint_{\Gamma} u \frac{ \partial v }{ \partial n } \mathrm{d}S - \iiint_{\Omega }(\nabla u \cdot \nabla v) \mathrm{d}V

格林第二恒等式

∭Ω(u∇2v−v∇2u)dV=∬Γ(u∂v∂n−v∂u∂n)dS\iiint_{\Omega}(u\nabla^{2}v - v\nabla^{2}u)\mathrm{d}V = \iint_{\Gamma}\left( u\frac{ \partial v }{ \partial n } -v\frac{ \partial u }{ \partial n } \right) \mathrm{d}S

其中 ∂u∂n\dfrac{ \partial u }{ \partial n } 是 uu 在法线方向上的导数，等于 ∇u⋅n^\nabla u \cdot \hat{n}

拉普拉斯方程和泊松方程#

拉普拉斯方程#

三维空间的拉普拉斯方程：

∇2A=0\nabla^{2} A = 0

考虑在球坐标系中的拉普拉斯方程：

1r2∂2r2A∂r2+1r2sin⁡θ∂∂θ(∂A∂θsin⁡θ)+1r2sin⁡2θ∂2A∂ϕ2\frac{1}{r^{2}}\frac{ \partial^{2} r^{2}A }{ \partial r ^{2}} + \frac{1}{r^{2} \sin \theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left( \frac{ \partial A }{ \partial \theta } \sin \theta \right) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2}\theta}\frac{ \partial^{2} A }{ \partial \phi^{2} }

考虑球对称解 A=A(r)A = A(r)

1r2∂2r2A∂2r=0\frac{1}{r^{2}}\frac{ \partial ^{2}r^{2}A }{ \partial ^{2}r } = 0

解出 A=C1r+C2A = \dfrac{C_{1}}{r}+ C_{2}

二维空间的拉普拉斯方程，使用极坐标表示

1r∂∂r(r∂A∂r)+1r2∂2A∂θ2=0\frac{1}{r}\frac{ \partial }{ \partial r } \left( r\frac{ \partial A }{ \partial r } \right) + \frac{1}{r^{2}}\frac{ \partial ^{2}A }{ \partial \theta^{2} } = 0

考虑球对称解 A=A(r)A = A(r)，解出： A=C1ln⁡r+C2A = C_{1}\ln r + C_{2}

泊松方程#

基本方程为：

∇2u=−f(r)\nabla^{2}u = -f(\mathbf{r})

格林函数满足的方程为：

∇2G(r,r′)=−δ(r−r′)\nabla^{2}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime}) = -\delta(\mathbf{r}- \mathbf{r}^{\prime})

代入格林第二恒等式：

∭Ω(u∇2v−v∇2u)dV=∬Γ(u∂v∂n−v∂u∂n)dS\iiint_{\Omega}(u\nabla^{2}v - v\nabla^{2}u)\mathrm{d}V = \iint_{\Gamma}\left( u\frac{ \partial v }{ \partial n } -v\frac{ \partial u }{ \partial n } \right) \mathrm{d}S

其中的 v=G(r,r′)v = G(\mathbf{r},\mathbf{r}^\prime) ，uu 就是泊松方程的解

∭Ω(−u(r)δ(r−r′)+G(r,r′)f(r))dV=∬Γ(u(r)∂G∂n−G∂u(r)∂n)dS\iiint_{\Omega}(-u(\mathbf{r})\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime) + G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})f(\mathbf{r}))\mathrm{d}V = \iint_{\Gamma}\left( u(\mathbf{r})\frac{ \partial G }{ \partial n } -G\frac{ \partial u(\mathbf{r}) }{ \partial n } \right) \mathrm{d}S

解出 u(r′)u(\mathbf{r}^{\prime})

u(r′)=∭ΩG(r,r′)f(r)dV+∬Γ(G∂u∂n−u(r)∂G∂n)dSu(\mathbf{r}^{\prime}) = \iiint_{\Omega}G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})f(\mathbf{r})\mathrm{dV} + \iint_{\Gamma}\left( G\frac{ \partial u }{ \partial n } - u(\mathbf{r})\frac{ \partial G }{ \partial n } \right)\mathrm{d}S

格林函数满足的方程具有对易性，那么格林函数也就具有对易性：G(r,r′)=G(r′,r)G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime}) = G(\mathbf{r}^{\prime},\mathbf{r})，将上述式子的 r\mathbf{r} 与 r′\mathbf{r}^{\prime} 进行对换：

u(r)=∭ΩG(r,r′)f(r′)dV+∬Γ(G∂u(r′)∂n−u(r′)∂G∂n)dSu(\mathbf{r}) = \iiint_{\Omega }G(\mathbf{r},\mathbf{r}^\prime)f(\mathbf{r}^{\prime})\mathrm{d}V + \iint_{\Gamma}\left( G\frac{ \partial u(\mathbf{r}^{\prime}) }{ \partial n } - u(\mathbf{r}^{\prime})\frac{ \partial G }{ \partial n } \right)\mathrm{d}S

当我们规定格林函数的边界条件之后，解出 u(r)u(\mathbf{r}) 就会简单许多。

关于格林函数的一些笔记
https://fuwari.bianwenzhao.workers.dev/posts/关于格林函数的一些笔记/
作者
Siesta
发布于
2026-10-07
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
Notes of Optics
关于角速度的一些笔记
© 2026 Siesta. All Rights Reserved. / RSS / Sitemap
已运行 --
Powered by Astro & Fuwari