基本假设#

• 任何惯性系中光速不变
• 在任何惯性系中的物理规律都是一样的

四维时空#

在狭义相对论中，时间不再是绝对不变的，不同的参考系观测到的时间可能不同，于是在描述世界时，我们还需要加上时间轴，于是我们可以构造一种四维空间 $(ct, x, y, z)$，由于光速不变，所以我们将时间乘上光速将量纲配平。

在四维空间中的每一个点都对应着我们现实世界的某一个事件，但是其坐标会随着观测者的状态改变而改变，洛伦兹提出了一种时空变换来描述这种改变，其为 洛伦兹变换：

我们也可以将左右两边写成张量的形式：

$x_{\nu}$ 这是四维坐标，$\Lambda_{\nu}^{\mu}$ 这是洛伦兹变换张量，可以写成：

不难发现这是一个对称矩阵，并且我们可以轻易得到洛伦兹逆变换，只需要对其求逆即可（就是把 $v$ 替换成 $-v$）

上指标代表逆变矢量，下指标代表协变矢量。

庞加莱发现了蕴含在洛伦兹变换中的不变量，我们可以计算

在洛伦兹变换之后，上式的值不变，这其实代表了时空间隔，最终闵可夫斯基提出了一种新的度规 $(-, +, +, +)$ 可以将上式表示成在该度规空间中的距离，写成矩阵就是：

度规张量可以将上指标移下来，我们也可以使用度规的逆将下指标移上去。此处涉及到更深入的知识，笔者不会了，先留着……

时空间隔#

前文我们讲到了时空间隔在闵可夫斯基空间中经过洛伦兹变换之后不改变，那么我们就可以说时空间隔具有洛伦兹协变性，是一个洛伦兹不变量。

在闵可夫斯基空间中，我们可以通过计算两个时间之间的时间间隔来判断二者有没有因果关系

我们将两个时间的坐标做差得到：

计算其内积，设$A = x^{\mu}x_{\mu}$

若 $A > 0$，则事件关系类空，光来不及传输信号，事件就已经发生，所以事件不存在因果 若 $A = 0$，则事件关系类光，光正好来得及传输信号 若 $A < 0$，则事件关系类时，光来得及传输信号，必然有因果关系

我们也可以画出光锥图，光锥之内是类时区域，光锥之外是类空区域，类时区域的事件可能会影响到未来，但是光锥之外类空区域的事件无影响。

四维速度#

四维速度是描述物体在四维空间运动趋势的物理量，在此之前我们需要引入固有时，这是一个洛伦兹不变量，其定义式为：

$\mathrm{d} t$ 是外界看物体的时间间隔，$\mathrm{d} \tau$ 是物体自身感知到的时间流逝，也就是相对于物体静止的参考系的时间间隔。举个例子：飞船以 $0.6c$ 的速度飞向遥远星体，当你们到达时，地球人觉得经过了10年，但是飞船上的人发现时钟只过了8年，飞船上的时钟指示的是固有时，地球上的人测量的时间更大。

我们现在有两个洛伦兹不变量 $x^{\mu}，\tau$ ，我们将四维坐标对于固有时求导，得到四维速度：

不难发现：

四维速度的内积恒为 $-c^2$，于是我们得到另一个洛伦兹不变量：四维速度。

由于固有时是一个洛伦兹不变量，所以可以得到四维速度的洛伦兹变换形式应该和四维坐标的相同，即：

那么这也一定程度上解释了为啥四维速度的内积是一个常量了。