在介质中，根据电磁波的波动方程，可以计算出电磁波的传播速度为 $\dfrac{c}{\sqrt{ \varepsilon \mu}}$ ，大多数介质材料的磁导率接近 $\mu_{0}$ ，于是我们得到： $v \approx \dfrac{c}{\sqrt{ \varepsilon }} = \dfrac{c}{n}$ ，那么就计算出了介质的折射率表达式： $n = \sqrt{ \varepsilon }$

根据电磁理论我们可以知道，在进入介质之后，电磁波的频率不会发生变化，但是传播速度的改变会导致波长改变，我们写出一个重要的表达式：

k_{介质} = \frac{2\pi}{\lambda_{介质}} = \frac{\omega}{v_{介质}}= \frac{n_{介质}\omega}{c}

这展示了介质中的波矢和介质的折射率之间的关系

光强#

在电磁理论中，我们常常使用能流密度来衡量电磁波传递能量的能量，能流密度正比于振幅的平方：

S = \langle E \times H \rangle = \frac{1}{2}c \varepsilon_{0}A^2

在光学中，我们只需要关注光的相对亮度就可以，所以就可以定义出光强，一般来说，光强定义成平均能流密度：

I = \frac{1}{2}v \varepsilon E_{0}^2 \propto E_{0}^2

光的数学表达式#

自然界中有各种各样的光，其数学表达形式略有不同，但是其都来自于电磁波的波动方程：

\begin{align} \\ E(x,y,z,t) & = E(x,y,z)e^{-i\omega t}\\ \\ \nabla^{2}E(x,y,z) + & k^{2}E(x,y,z) = 0 \end{align}

其中最简单的解是沿着 $z$ 轴传播的平面波，写成：

E(x,y,z) = A e^{-i(\omega t - kz)}

通常在表示光时，我们取其电场部分作为偏振方向，只需要确定了电场部分和波矢，也就确定了整个电磁波的结构（电场部分和磁场部分是同相）

普遍形式的标量光波#

此处先解释什么是标量光波：标量光波是与矢量光波（或者叫矢量光场）进行区分的，核心区别在于偏振态的空间分布。

标量光波的偏振空间分布是均匀的，比如在沿 $z$ 轴传播的电磁波中，偏振与 $(x,y)$ 无关，我们只需要引入振幅和相位就可以完整描述平面标量光波。
矢量光波（矢量光场）的偏振态与空间有关，比如径向偏振光的偏振指向中心。

一般的标量光波可以表示成：

E(x,y,z,t) = u(x,y,z)e^{-i(\omega t - kz)}

其中 $u(x,y,z)$ 只和空间有关，称为包络，其中有振幅和初始相位的信息，其包含的相位称为包络相位； $e^{-i(\omega t- kr)}$ 与时间和波矢有关，称为载波，载波因子包含的相位通常称为光波的相位

将载波代入亥姆霍兹方程中，约去载波因子得到：

\nabla ^2 u + 2ik \frac{ \partial u }{ \partial z } = 0

与载波的相位快速变化相比之下，包络在一个波长的距离内随 $z$ 的变化很小，这就是傍轴近似：

\left| \frac{ \partial ^2 u}{ \partial z^2 } \right| \ll \left|2k\frac{ \partial u }{ \partial z } \right|

在拉普拉斯算子中我们就可以省略对于 $z$ 的二次偏导数。

相速度和群速度#

实际光波大多不是完全理想单色的，此时光波具有一定的频率范围和波长带宽，作为结果，光波在介质内传输时会出现两种不同性质的速度，分别是群速度和相速度：

相速度代表了单色波的相位传播速度，表达式为： $v_{p} = \omega /k$
群速度代表了包络的传播速度，表达式为： $v_{g} = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}$

如果结合上介质的色散关系（折射率随真空波长/频率的关系）可以计算出：

v_{g} = \frac{c}{n-\frac{\lambda_{0} \mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda_{0}}} = v_{p} - \lambda\frac{\mathrm{d}v_{p}}{\mathrm{d}\lambda}

其中的 $\lambda_{0}$ 是真空波长， $\lambda$ 是介质中的波长

相速度可以超过光速#

相速度在某一些介质中可以超过光速，但是这并没有违背相对论中对于没有信息的传递速度大于光速的假设，此时相速度没有实际的物理意义，真正的物理信息是通过群速度传播的，符合因果律。

反射和折射#

反射定律：反射角等于入射角折射定律：折射角满足： $\sin \theta_{t} n_{2} = \sin \theta_{i}n_{1}$

正入射的情况#

在处理界面上的反射和折射的时候，可以设入射光为： $E = A_{0}e^{-i(\omega t - kz)}$ ，界面上（ $z= 0$ ）可以省略载波因子，只关注包络因子。

在正入射的情况下，不用考虑光的偏振情况，根据切向电场在界面两边连续、切向磁场强度连续，可以计算出反射和折射的包络演化：

r_{s} = \frac{A_{r}}{A_{0}} = \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_2};\quad r_{t} = \frac{A_{t}}{A_{0}}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}

Attention！ 此处的电场方向规定是：在全空间中选择一个电场的正方向。

半波损失#

可以看出来，在正入射的情况下，如果从光疏介质射向光密介质，那么反射光会出现一个相位突变 $\Delta \varphi = \pi$ ，也就是出现了半波损失。

能量关系#

光强的表达式为：

I = \frac{1}{2}\varepsilon vA^2 \propto nA^2

计算出反射光和折射光的光强：

I_{r} = I_{0}\left( \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \right)^2;\quad I_{t}=I_{0}\left( \frac{4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_2)^2} \right)

可以发现：

I_{r} + I_{t} = I_{0}

符合能量守恒

斜入射的情况#

与正入射不同，斜入射需要区分偏振模式（p光和s光），同样可以使用电磁学的边界条件计算出反射系数和折射系数：

\begin{aligned} r_{s} = \end{aligned}

波动光学#

几何光学中存在几条公理，那是在牛顿时期就已经定下来的，后续几何光学的发展也只是在这样的框架中，比如：

在均匀介质中，光沿直线传播
光程可逆
反射定理和折射定理

但是这并不能解释所有的光学现象，比如著名的泊松亮斑现象，在一个圆形挡板后面的光屏中心出现了亮斑，明显不符合光线沿直线传播的定理，所以人们也就意识到几何光学还不足以描述所有的光学现象，那么后续就发展出了波动光学。

波动光学大概分为三个重点板块

干涉
衍射
偏振

衍射#

衍射是对于光线沿直线传播的直接否定，惠更斯—菲涅尔原理指出，波阵面上的每一点都可以视作是一个新的光源，新光源又会发出一系列球面波，然后形成新的波阵面。本笔记后续的所有衍射现象都会从此原理出发，这是衍射理论的基本假设。

基尔霍夫使用数学语言解释了惠更斯—菲涅尔原理，他用复数表示光波，然后写下球面波的表达式，设给定波阵面 $S_{0}$ 处的光场分布为 $E(S_{0},z_{0})$ ，那由它发出的球面子波为：

E_{sphere} = E(S_{0},z_{0}) \frac{1}{\rho}\exp(ik\rho)

如果考虑二维、三维情况，那么就使用点乘计算相位差

原波阵面的发出的所有子波进行叠加得到观察点的光场：

E_{P} = -\frac{i}{\lambda}\iint E(S_{0},z_{0}) \frac{\exp(ik\rho)}{\rho}\cos \theta \,\mathrm{d}S_{0}

其中的 $\cos \theta$ 是倾斜因子，表示原波阵面的面元法线与 $\rho$ 的夹角。

菲涅尔衍射积分理论#

在实际计算中，大多是傍轴条件 $(\theta \ll 1, (z-z_{0})^{2} \gg (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2})$ 下的衍射，于是我们可以使用近似：

\cos \theta \approx 1 , \quad \rho = \sqrt{ (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} + (z-z_{0})^{2} } \approx (z-z_{0}) + \frac{(x - x_{0})^{2 } + (y-y_{0})^{2}}{2(z-z_{0})}

将这个近似代入到上文讲到的叠加之后形成的光场中：

E_{P} = -\frac{i}{\lambda (z-z_0)}\exp(ik (z-z_{0}))\iint E(x_{0},y_{0},z_{0}) \exp\left( ik \frac{{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}{2(z-z_{0})} \right)\mathrm{d}x_{0}\mathrm{d}y_{0}

忽略平面波传播相位因子，得到衍射波的包络：

u_{p} = -\frac{i}{\lambda L}\iint u(x_{0},y_{0},z_{0})\exp\left( ik \frac{{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}{2L} \right)\mathrm{d}x_{0}\mathrm{d}y_{0}

一维情况：

u_{p} = \sqrt{ -\frac{i}{\lambda L} }\iint u(x_{0},z_{0})\exp\left( ik \frac{{(x-x_{0})^{2}}}{2L} \right)\mathrm{d}x_{0}

巴比涅互补原理#

从前面的计算中我们也可以看出菲涅尔积分是对于波阵面的面元进行积分，并且各个面元之间没有次序之分，所以当我们把波阵面分成多个部分，那么积分的结果应当也可以直接线性叠加，也就得到了巴比涅互补原理：

将一个波阵面 $S_{0}$ 分成 $S_{01}$ 和 $S_{02}$ 两部分，其衍射形成的包络有这样的关系：

u_{01} + u_{02} = u_{0}

利用巴比涅原理，我们可以先计算出与原波阵面互补的形状的衍射光场分布，再得到我们要求的光场分布，比如：要求一个圆盘挡板的衍射分布，可以先求出圆孔的衍射分布，然后用原光场减去圆孔的，就得到了圆盘的。

衍射的分类#

通常根据传播距离 $L$ 大小分为

菲涅尔衍射（近场）
夫琅禾费衍射（远场）

其量化指标为菲涅尔数：

N = \frac{a^{2}}{\lambda L}

其中 $a$ 是孔径， $\lambda$ 是波长， $L$ 是传播距离

其中菲涅尔衍射对应 $N \gg 1$ ，夫琅禾费衍射对应 $N \ll 1$

菲涅尔衍射#

菲涅尔衍射对应近场衍射，使用菲涅尔积分理论计算衍射光场，使用菲涅尔数进行代换得到：

u(x,y,z) = -iN \iint u(x_{0}, y_{0},z_{0})\exp(2iN[(x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2}])\mathrm{d}x_{0}\mathrm{d}y_{0}

此处的 $x_{0},y_{0}$ 进行了归一化处理，其取值范围为 $[-1,1]$

比如在圆孔衍射中我们要计算光轴上的衍射光场，由于是在光轴上，所以我们也不需要使用特殊函数表示，可以直接写出解析式：

u_{p} = -\frac{i}{\lambda L}\iint u(x_{0},y_{0},z_{0})\exp\left( ik \frac{{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}{2L} \right)\mathrm{d}x_{0}\mathrm{d}y_{0}

使用极坐标表示原波阵面：

u_{P} = -\frac{i}{\lambda L}\iint u(\rho,\theta,z_{0})\exp\left( ik \frac{\rho^{2}}{2L} \right)\rho \mathrm{d}\rho \,\mathrm{d}\theta

假设入射光场是匀强的，并且 $u(\rho,\theta,z_{0}) = 1$ ，得到衍射光场的解析式：

u = (1-e^{ika^{2}/2L})

取模平方得到光强分布：

u^{*}u = 4 \sin^{2}\left( \frac{ka^{2}}{4L} \right)

根据巴比涅原理，计算得到圆盘衍射光轴上的衍射光场分布：

\begin{gathered} u_{圆盘} = 1 - u = e^{ika^{2}/2L}\\ I_{圆盘} = 1 \end{gathered}

可以发现圆盘衍射光轴上的光强和入射光场一样，并且是一个常量，这就是泊松亮斑的来源。

但是如果观察点是离轴的，这时候需要引入特殊函数进行计算，在原波阵面使用极坐标，选定极轴，要求观察点处于极轴上，计算出面元与观察点的距离为：

\delta = \sqrt{ (r_{0}\sin \theta)^{2} + (r_{0}\cos \theta-r )^{2 } + L^{2} }

代入菲涅尔积分公式中：

u = -\frac{i}{\lambda L}\iint u_{0}\exp (ik\delta)r_{0}\,\mathrm{d}r_{0}\,\mathrm{d}\theta

考虑傍轴条件和入射光场为轴对称，得到约化之后的距离：

\delta \approx L - \frac{rr_{0}\cos \theta}{L} + \frac{r_{0}^{2}}{2L} + \frac{r^{2}}{2L}

提取出平面波传播因子留下：

u = -\frac{i}{\lambda L}\exp\left( \frac{ikr^{2}}{2L} \right) \iint u_{0}\exp\left( \frac{ikr^{2}_{0}}{2L} \right) \exp\left( -\frac{ikr_{0}r\cos \theta}{L} \right)r_{0}\mathrm{d}r_{0}\mathrm{d}\theta

贝塞尔零阶函数为：

J_{0}(u) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\exp(iu\cos \theta)\mathrm{d}\theta

代入其中可以得到一个新的表达式：

u = -\frac{i 2\pi}{\lambda L}\exp\left( \frac{ikr^{2}}{2L} \right)\int_{0}^{a}\exp\left( \frac{ikr^{2}_{0}}{2L} \right)u_{0}J_{0}\left( \frac{kr_{0}r}{L} \right)r_{0}\mathrm{d}r_{0}

后续可以表示成一阶贝塞尔函数，利用贝塞尔函数的性质:

\int_{0}^{x}uJ_{0}(u) = x J_{1}(x)

但需要满足一些近似条件，这里就不写下去了。

夫琅禾费衍射#

夫琅禾费衍射对应的是远场衍射，我们可以想象衍射像成在无穷远处，或者使用一个透镜缩短成像距离，另外与菲涅尔衍射不同的是，我们需要引入空间角坐标来描述远场衍射 ${}\theta_{x},\,\theta_{y}{}$ ，大部分情况我们都有近似： ${}\theta_{x} = \frac{x}{z};\,\theta_{y} = \frac{y}{z}{}$ ，它还可以化成空间频率 ${}f_{x}, f_{y}{}$ ，空间频率的表达式： ${}f_{x} = \frac{\theta_{x}}{\lambda}; \,f_{y} = \frac{\theta_{y}}{\lambda}{}$ 。