方程引入#

物理问题中，我们经常需要求解拉普拉斯方程、泊松方程、波动方程，这一些方程都有一个共同点，都有拉普拉斯算子，也就是 $\nabla^{2}$，一般的直角坐标系的拉普拉斯算子可以直接使用分离变量法进行求解，那在柱坐标、球坐标中也是如此：

先来看球坐标的拉普拉斯算子：

柱坐标的拉普拉斯算子：

拿拉普拉斯方程举例子，球坐标的拉普拉斯方程可以表示为，设解为 $u(r,\theta,\varphi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$

设：

得到极角方程：

这就是球坐标下的分离变量法得到的三个分量方程，我们称极角方程为连带勒让德方程，当 $m = 0$ 方程简化为勒让德方程：

径向方向可以化简为：

这是欧拉方程，可以直接写出解：

方位角部分是一个简单的谐振子方程，可以直接写出解：

另外方位角部分有一个天然的周期限制条件：

这要求 $m$ 必须是一个整数，记住这个限制条件，后续会用到的。

要解这个拉普拉斯方程，相当于解极角部分的连带勒让德方程。

勒让德方程#

要解连带勒让德方程，我们先来解简单一些的勒让德方程，也就是：

换元： $x= \cos \theta,\quad y = \Theta(\theta)$，得到：

设级数解：$y = \sum C_{k}x^{C+k}$，代入得到系数递推方程：

发现偶数列和奇数列无关，那么解就可以表示成奇数列和偶数列的线性组合，对于任何一个 $l$ ，都存在数列满足递归。但是这里有一个问题，一般来看，如果这是一个无穷项级数，那么可以证明的是在 $x = 1$ 处级数趋向正无穷，这显然和物理事实不相符，那要让级数是一个有界值，必须让系数在某一点截断，也就是在此之后的系数递归均为0，也就是级数变成了一个多项式。要想实现这样的效果，必须要求 $l$ 为一个整数。比如 $l = 2$ ，那么偶数列会在 $C_{2}$ 处截断，即 $C_{4} = C_{6} = \dots= 0$

那么我们就确定了要想获得在物理意义上合理的数学解，就需要 $l$ 为一个整数，当 $l$ 为偶数，那为了保证级数有界，奇数列必须全为 $0$ 。

比如我们可以写出前面几个解：

如果告知了最高次幂的系数，那么整一个数列都是已知的了。那为了简化表达式，我们有一个规定：

后续计算出来的多项式满足 $P_{l}(1) = 1$，满足有界性。我们称这样子获得的多项式称为勒让德多项式：

当我们定义内积为：$f \cdot g = \int_{-1}^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 时，勒让德多项式是成交的：

另外我们也可以证明勒让德多项式也是一个完备的函数集，可以用勒让德函数来表示任何平方可积函数，类似傅里叶级数。

回到勒让德方程，我们写出解：